PHẦN III-HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

PHẦN 7. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

1.1. Các khái niệm và tính chất

1.1.1.  Khái niệm mở đầu

Trong không gian cho ba trục $Ox,Oy,Oz$ phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ $O,$ truc hoành $Ox,$ trục tung $Oy,$ trục cao $Oz,$ các mặt tọa độ $\left( Oxy \right),\left( Oyz \right),\left( Ozx \right).$

1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ

Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ $Oxyz$ hay không gian $Oxyz.$

Chú ý:       

1.1.3. Tọa độ véc tơ              

1.1.4. Tọa độ điểm               

1.1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ

Cho 

• $\vec{u}=\vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=a' \\  & b=b' \\  & c=c' \\ \end{align} \right.$
• 
• $k\overrightarrow{u}=\left( ka;\ kb;\ kc \right)$
• $\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{v} \right|.\cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)=aa'+bb'+cc'$
• $\cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)=\frac{\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{v} \right|}=\frac{aa'+bb'+cc'}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{v} \right|}$
• $\left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{\overrightarrow{u}}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$
• $\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{v}\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=0$
• $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};\ {{y}_{B}}-{{y}_{A}};\ {{z}_{B}}-{{z}_{A}} \right)$
• $AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{B}}-{{z}_{A}} \right)}^{2}}}$

1.1.6. Chú ý

1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng

M chia AB theo tỉ số k nghĩa là 

Công thức tọa độ của M là : 

1.1.8. Công thức trung điểm

1.1.9. Công thức trọng tâm tam giác

1.1.10. Công thức trọng tâm tứ diện

1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ

1.1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ

• • $\left[ \vec{u},\vec{v} \right]$ vuông góc với $\vec{u}$ và $\vec{v}$
  • $\left| \left[ \vec{u},\vec{v} \right] \right|=\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{v}} \right|\sin \left( \vec{u},\vec{v} \right)$
  • $\left[ \vec{u},\vec{v} \right]=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{u},\vec{v}$cùng phương

1.1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ

1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp

1.2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm

Phương pháp giải

• • Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
  • Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích

Phương pháp giải

• • Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
  • Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
  • Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
  • Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
• $A,\,B,\,C$ thẳng hàng  $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB};\ \overrightarrow{AC}$ cùng phương  $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\ \overrightarrow{AC} \right]=\overrightarrow{0}$
• $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
• Cho  $\Delta ABC$ có các chân  $E;\ F$ của các đường phân giác trong và ngoài của góc $A$  của $\Delta ABC$  trên $BC$.

Ta có:       $\overrightarrow{EB}=\frac{-AB}{AC}.\overrightarrow{EC};\ \ \ \ \overrightarrow{FB}=\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{FC}$

• $A,\,B,C,D$ không đồng phẳng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB};\ \overrightarrow{AC};\ \overrightarrow{AD}$ không đồng phẳng 

                                                 $\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}\ne 0$

2. MẶT PHẲNG

2.1.5.  Những trường hợp riêng của  phương trình tổng quát

• $\left( P \right)$ qua gốc tọa độ  $\Leftrightarrow D=0$
• $\left( P \right)$ song song hoặc trùng $\left( Oxy \right)\Leftrightarrow A=B=0$
• $\left( P \right)$ song song hoặc trùng $\left( Oyz \right)\Leftrightarrow B=C=0$
• $\left( P \right)$ song song hoặc trùng $\left( Ozx \right)\Leftrightarrow A=C=0$
• $\left( P \right)$ song song hoặc chứa $Ox\Leftrightarrow A=0$
• $\left( P \right)$ song song hoặc chứa $Oy\Leftrightarrow B=0$
• $\left( P \right)$ song song hoặc chứa $Oz\Leftrightarrow C=0$
• $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $A\left( a;0;0 \right),$ cắt $Oy$ tại $B\left( 0;b;0 \right)$ và cắt $Oz$ tại $C\left( 0;0;c \right)\Leftrightarrow \left( P \right)$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\ \ \ \left( a,b,c\ \ne 0 \right)$

2.1.6.  Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

2.1.7.  Chùm mặt phẳng

2.2. Viết phương trình mặt phẳng

Để lập phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ ta cần xác định một điểm thuộc $\left( \alpha  \right)$ và một VTPT của nó.

2.2.1. Dạng 1

$\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm  $M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ có VTPT  $\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)$ thì:

$\left( \alpha  \right):\ A\left( x-{{x}_{0}} \right)+B\left( y-{{y}_{0}} \right)+C\left( z-{{z}_{0}} \right)=0$

2.2.2. Dạng 2

$\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ có cặp VTCP $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ thì $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]$ là  một VTPT của  $\left( \alpha  \right)$

2.2.3. Dạng 3

$\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và song song với $\left( \beta  \right):Ax+By+Cz=0$ thì $\left( \alpha  \right):\ A\left( x-{{x}_{0}} \right)+B\left( y-{{y}_{0}} \right)+C\left( z-{{z}_{0}} \right)=0$$$ 

2.2.4. Dạng 4

$\left( \alpha  \right)$ đi qua 3 điểm không thẳng hàng $A,\ B,\ C$. Khi đó ta có thể xác định một VTPT của $\left( \alpha  \right)$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]$

2.2.5. Dạng 5

$\left( \alpha  \right)$ đi qua một điểm $M$ và một đường thẳng $\left( d \right)$ không chứa $M$:

• Trên $\left( \alpha  \right)$ lấy điểm $A$  và VTCP $\overrightarrow{u}$.
• Một VTPT của $\left( \alpha  \right)$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{u} \right]$

2.2.6. Dạng 6

$\left( \alpha  \right)$ đi qua một điểm $M$, vuông góc với đường thẳng $\left( d \right)$ thì VTCP $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng $\left( d \right)$ là một VTPT của $\left( \alpha  \right)$.

2.2.7. Dạng 7

$\left( \alpha  \right)$ chứa đường thẳng cắt nhau ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}$

• Xác định các VTCP  $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}.$
• Một VTPT của $\left( \alpha  \right)$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]$
• Lấy một điểm $M$ thuộc d₁ hoặc ${{d}_{2}}\Rightarrow M\in \left( \alpha  \right)$

2.2.8. Dạng 8

$\left( \alpha  \right)$ chứa đường thẳng ${{d}_{1}}$ và song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ (${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ chéo nhau:

• Xác định các VTCP  $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}.$
• Một VTPT của $\left( \alpha  \right)$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} \right]$
• Lấy một điểm $M$ thuộc ${{d}_{1}}\Rightarrow M\in \left( \alpha  \right)$

2.2.9. Dạng 9

$\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm $M$ và song song với hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$:

• Xác định các VTCP  $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}.$
• Một VTPT của $\left( \alpha  \right)$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} \right]$.

2.2.10. Dạng 10

$\left( \alpha  \right)$ chứa một đường thẳng $d$  và vuông góc với một mặt phẳng $\left( \beta  \right)$

• Xác định VTCP $\overrightarrow{u}$  của $d$ và VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}$ của $\left( \beta  \right)$
• Một VTPT của $\left( \alpha  \right)$  là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]$
• Lấy một điểm $M$  thuộc $d\Rightarrow M\in \left( \alpha  \right)$

2.2.11. Dạng 11

$\left( \alpha  \right)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau $\left( \beta  \right),\ \left( \gamma  \right):$

• Xác định các VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}},\ \overrightarrow{{{n}_{\gamma }}}$  của $\left( \beta  \right)$  và $\left( \gamma  \right)$
• Một VTPT của $\left( \alpha  \right)$  là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\beta }}},\ \overrightarrow{{{n}_{\gamma }}} \right]$

2.2.12. Dạng 12

$\left( \alpha  \right)$ chứa đường thẳng $d$  cho trước và cách điểm $M$  cho trước một khoảng $k$ cho trước:

• Giả sử $\left( \alpha  \right)$ có phương trình: $Ax+By+Cz+D=0\ \ \left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0 \right)$
• Lấy 2 điểm $AB\in \left( d \right)\Rightarrow A,\ B\in \left( \alpha  \right)$ (ta được hai phương trình $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$)
• Từ điều kiện khoảng cách $d\left( M,\ \left( \alpha  \right) \right)=k$ , ta được phương trình (3).
• Giải hệ phương trình $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).

2.2.13. Dạng 13

$\left( \alpha  \right)$ là tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại điểm $H.$

• Giả sử mặt cầu $\left( S \right)$  có tâm $I$ và bán kính $R$
• Một VTPT của $\left( \alpha  \right)$ là: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IH}$

2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$  và $\left( P' \right):\ A'x+B'y+C'z+D'=0$

Khi đó:

• $\left( P \right)$  cắt $\left( P' \right)$ $\Leftrightarrow A:B:C\ne A':B':C'$
•  $\left( P \right)//\left( P' \right)\Leftrightarrow \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\ne \frac{D}{D'}$
•  $\left( P \right)\equiv \left( P' \right)\Leftrightarrow \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'}$
•  $\left( P \right)\bot \left( P' \right)\Leftrightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\left( P' \right)}}\Leftrightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}.{{\overrightarrow{n}}_{\left( P' \right)}}=0\Leftrightarrow AA'+BB'+CC'=0$

2.4. Khoảng cách và hình chiếu

2.4.1.  Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( \alpha  \right):\ Ax+By+Cz+D=0$ là $d\left( {{M}_{0}},\left( \alpha  \right) \right)=\frac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

2.4.2.  Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

2.4.3.  Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng

Điểm $H$ là hình chiếu của điểm $M$ trên $\left( P \right)\Leftrightarrow \ \overrightarrow{MH},\ \overrightarrow{n}$ cùng phương $\left( H\in \left( P \right) \right)$

2.4.4.  Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng

Điểm $M'$ đối xứng với điểm $M$ qua $\left( P \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{MM'}=2\overrightarrow{MH}$

2.5.  Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right),\ \left( \beta  \right)$ có phương trình: $\left( \alpha  \right):\ {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0$

$\ \ \ \left( \beta  \right):\ {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0$

Góc giữa $\left( \alpha  \right),\ \left( \beta  \right)$  bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT  $\overrightarrow{{{n}_{1}}},\ \overrightarrow{{{n}_{2}}}$.

$\cos \left( \left( \alpha  \right),\left( \beta  \right) \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\frac{\left| {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}} \right|}{\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{B}_{1}}^{2}+{{C}_{1}}^{2}}+\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}$

Chú ý:       ${{0}^{0}}\le \left( \widehat{\left( \alpha  \right),\left( \beta  \right)} \right)\le {{90}^{0}}$ ;    $\left( \alpha  \right)\bot \left( \beta  \right)\Leftrightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}=0$

2.6.  Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Cho mặt phẳng  $\left( \alpha  \right):\ Ax+By+Cz+D=0$ và mặt cầu $\left( S \right):\ {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$  có tâm $I$

• $\left( \alpha  \right)$  và $\left( S \right)$  không có điểm chung $\Leftrightarrow d\left( I,\left( \alpha  \right) \right)>R$
•   $\left( \alpha  \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)\Leftrightarrow d\left( I,\left( \alpha  \right) \right)=R$  với$\left( \alpha  \right)$ là tiếp diện

Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:

• Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua tâm $I$  của $\left( S \right)$ và vuông góc với $\left( \alpha  \right)$.
• Tìm toạ độ giao điểm $H$  của $d$ và $\left( \alpha  \right)$.  $H$  là tiếp điểm của $\left( S \right)$  với $\left( \alpha  \right)$.

• $\left( \alpha  \right)$ cắt $\left( S \right)$  theo một đường tròn $\Leftrightarrow d\left( I,\ \left( \alpha  \right) \right)<R$

Để xác định tâm $H$ và bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:

• Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua tâm $I$  của $\left( S \right)$ và vuông góc với $\left( \alpha  \right)$.
• Tìm toạ độ giao điểm $H$ của $d$ và $\left( \alpha  \right)$. Với $H$ là tâm của đường tròn giao tuyến của $\left( S \right)$ với $\left( \alpha  \right)$.
• Bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}$

3. ĐƯỜNG THẲNG

3.1. Phương trình của đường thẳng

3.1.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

3.1.1.1. Ðịnh nghĩa

3.1.1.2. Chú ý

3.1.2. Phương trình tham số của đường thẳng

3.1.3. Phương trình chính  tắc của đường thẳng

3.2. Vị trí tương đối

3.2.1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

3.2.1.1. Phương pháp hình học

Định lý

Khi đó :

$\left( \Delta  \right) \cap \left( \alpha  \right) \Leftrightarrow \vec a.\vec n \ne 0 \Leftrightarrow A{a_1} + B{a_2} + C{a_3} \ne 0$

$\left( \Delta  \right)//\left( \alpha  \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\vec a.\vec n = 0\\
{M_0} \notin \left( P \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A{a_1} + B{a_2} + C{a_3} = 0\\
A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} \ne 0
\end{array} \right.$

$\left( \Delta  \right) \subset \left( \alpha  \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\vec a.\vec n = 0\\
{M_0} \in \left( P \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A{a_1} + B{a_2} + C{a_3} = 0\\
A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} = 0
\end{array} \right.$

Đặc biệt

3.2.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

3.2.2.1. Phương pháp hình học

Cho hai đường thẳng: ${{\Delta }_{1}}$ đi qua $M$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$  

         ${{\Delta }_{2}}$ đi qua $N$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$  

•   ${{\Delta }_{1}}\equiv {{\Delta }_{2}}\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{MN} \right]=\overrightarrow{0}$

      ${\Delta _1} /  / {\Delta _2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
      \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\
      \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {MN} } \right] \ne 0
      \end{array} \right.$

      ${\Delta _1} \cap {\Delta _2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
      \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\
      \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MN}  = 0
      \end{array} \right.$

•  ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{MN}\ne 0$

3.2.2.2. Phương pháp đại số

3.2.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

3.2.3.1. Phương pháp hình học

3.2.2.2. Phương pháp đại số

Thế  ( 1 ), ( 2 ), ( 3 )  vào phương trình ( S ) và rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo t ( * )

• Nếu phương trình $\left( * \right)$  vô nghiệm thì d không cắt $\left( S \right)$
• Nếu phương trình ( * ) có một nghiệm thì s tiếp xúc ( S )
• Nếu phương trình ( * )  có hai nghiệm thì d cắt ( S )  tại hai điểm phân biệt M , N

Chú ý:

Ðể tìm tọa độ M, N  ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d

3.3. Góc trong không gian

3.3.1. Góc giữa hai mặt phẳng

3.3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

3.3.3. Góc giữa hai đường thẳng

3.4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

3.4.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

3.4.3. Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau

3.5. Lập phương trình đường thẳng

Để lập phương trình đường thẳng $d$  ta cần xác định 1 điểm thuộc $d$  và một VTCP của nó.

3.5.1. Dạng 1

$d$  đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} \right)$  là.$\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + {a_1}t\\
y = {y_0} + {a_2}t\\
z = {z_0} + {a_3}t
\end{array} \right.\;\;\;\left( {t \in } \right)$

3.5.2. Dạng 2

$d$ đi qua hai điểm $A,\ B:$  Một VTCP của $d$ là $\overrightarrow{AB}$.

3.5.3. Dạng 3

$d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và song song với đường thẳng $\Delta $ cho trước: Vì $d//\Delta $  nên VTCP của $\Delta $  cũng là VTCP của $d$.

3.5.4. Dạng 4

$d$ đi qua điểm  ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ cho trước: Vì $d\bot \left( P \right)$  nên VTPT của $\left( P \right)$ cũng là VTCP của $d$.

3.5.5. Dạng 5

$d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right)$:

• Cách 1:

Tìm một điểm và một VTCP.

• Tìm toạ độ một điểm $A\in d$ bằng cách giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
  \left( P \right)\\
  \left( Q \right)
  \end{array} \right.$  (với việc chọn giá trị cho một ẩn)
• Tìm một VTCP của $d:\overrightarrow{a}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$

• Cách 2:

Tìm hai điểm $A,\ B$  thuộc $d$, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

3.5.6. Dạng 6

$d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và vuông góc với hai đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}:$  

Vì $d\bot {{d}_{1}},\ d\bot {{d}_{2}}$  nên một VTCP của $d$ là: $\overrightarrow{a}=\left[ \overrightarrow{{{a}_{1}}},\overrightarrow{{{a}_{2}}} \right]$

3.5.7. Dạng 7

$d$ đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$, vuông góc và cắt đường thẳng $\Delta $.

• Cách 1:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của ${{M}_{0}}$ trên đường thẳng $\Delta $. Thì $\left\{ \begin{array}{l}
H \in \Delta \\
\overrightarrow {{M_0}H}  \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} 
\end{array} \right.$

• Cách 2:

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$$,\ \left( Q \right)$  là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d$.  Khi đó $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$

3.5.8. Dạng 8

$d$đi qua điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}:$

• Cách 1:

Gọi ${{M}_{1}}\in {{d}_{1}},\ {{M}_{2}}\in {{d}_{2}}.$ Từ điều kiện $M,\ {{M}_{1}},\ {{M}_{2}}$  thẳng hàng ta tìm được ${{M}_{1}},\ {{M}_{2}}$. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng $d$.

• Cách 2:

Gọi $\left( P \right)=\left( {{M}_{0}},{{d}_{1}} \right),\ \left( Q \right)=\left( {{M}_{0}},{{d}_{2}} \right).$ Khi đó $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right).$ Do đó, một VTCP của $d$ có thể chọn là $\overrightarrow{a}\left[ \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]$.

3.5.9. Dạng 9

$d$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và cắt cả hai đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}:$

Tìm các giao điểm $A={{d}_{1}}\cap \left( P \right),\ B={{d}_{2}}\cap \left( P \right).$

Khi đó  chính là đường thẳng $AB.$

3.5.10. Dạng 10

Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $\Delta $ và ${{d}_{1}},$ mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $\Delta $  và ${{d}_{2}}$. 

Khi đó $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$.

3.5.11. Dạng 11

$d$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}$  chéo nhau:

• Cách 1:

Gọi ${{M}_{1}}\in {{d}_{1}},\ {{M}_{2}}\in {{d}_{2}}.$ Từ điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
MN \bot {d_1}\\
MN \bot {d_2}
\end{array} \right.,$

• Cách 2:

• Vì $\left\{ \begin{array}{l}
  d \bot {d_1}\\
  d \bot {d_2}
  \end{array} \right.$  nên một VTCP của $d$ có thể là: .$\overrightarrow a  = \left[ {{{\overrightarrow a }_{{d_1}}},{{\overrightarrow a }_{{d_2}}}} \right]$
• Lập phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$  chứa$d$và ${{d}_{1}},$ bằng cách:

• Lấy một điểm $A$ trên ${{d}_{1}}.$
• Một VTPT của $\left( P \right)$  có thể là: ${{\overrightarrow{n}}_{P}}=\left[ \overrightarrow{a},{{\overrightarrow{a}}_{{{d}_{1}}}} \right]$.

• Tương tự lập phương trình  mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ và ${{d}_{2}}.$ Khi đó $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$.

3.5.12. Dạng 12

$d$ là hình chiếu của đường thẳng $\Delta $ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ thì ta Lập phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $\Delta $ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng cách:

• Lấy $M\in \Delta $.
• Vì $\left( Q \right)$ chứa $\Delta $  và vuông góc với $\left( P \right)$ nên ${{\overrightarrow{n}}_{Q}}=\left[ {{\overrightarrow{a}}_{\Delta }},{{\overrightarrow{n}}_{P}} \right]$.
• Khi đó $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$.

3.5.13. Dạng 13

$d$ đi qua điểm $M$, vuông góc với ${{d}_{1}}$ và cắt ${{d}_{2}}:$

• Cách 1:

Gọi $N$ là giao điểm của$d$ và ${{d}_{2}}.$ Từ điều kiện $MN\bot {{d}_{1}}$, ta tìm được $N.$ Khi đó, $d$ là đường thẳng $MN$.

• Cách 2:

• Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $M$ và vuông góc với ${{d}_{1}}$
• Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $M$ và ${{d}_{2}}.$
• Khi đó $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right).$

3.6. Vị trí tương đối

3.6.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

• Phương pháp hình học:

Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.

• Phương pháp đại số:

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.

3.6.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

• Phương pháp hình học:

Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.

• Phương pháp đại số:

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.

3.6.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu

Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu  ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

• Phương pháp hình học:

Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.

• Phương pháp đại số:

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu.

3.7. Khoảng cách

3.7.1. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $d$

• Cách 1:

Cho đường thẳng $d$ đi qua ${{M}_{0}}$ và có VTCP $\overrightarrow{a}$ thì $d\left( M,\ d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{M}_{0}}M},\ \overrightarrow{a} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|}$

• Cách 2:

• Tìm hình chiếu vuông góc $H$ của $M$ trên đường thẳng $d$
• $d\left( M,d \right)=MH$

• Cách 3:

• Gọi $N\left( x,y,z \right)\in d$. Tính $M{{N}^{2}}$theo $t\ (t$ tham số trong phương trình đường thẳng $d)$
• Tìm $t$ để $M{{N}^{2}}$ nhỏ nhất.
• Khi đó $N\equiv H.$ Do đó $d\left( M,\ d \right)=MH.$

3.7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}.$ Biết ${{d}_{1}}$ đi qua điểm ${{M}_{1}}$ và có VTCP ${{\overrightarrow{a}}_{1}},\ {{d}_{2}}$ đi qua điểm ${{M}_{2}}$ và có VTCP  $\overrightarrow{{{a}_{2}}}$ thì $d\left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\frac{\left| \left[ {{\overrightarrow{a}}_{1}},{{\overrightarrow{a}}_{2}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ {{\overrightarrow{a}}_{1}},{{\overrightarrow{a}}_{2}} \right] \right|}$

Chú ý:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}$ bằng khoảng cách giữa ${{d}_{1}}$ với mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ chứa ${{d}_{2}}$ và song song với ${{d}_{1}}.$

3.7.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

3.7.4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng với mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M  bất kì trên d đến mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

3.8. Góc

3.8.1. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}$ lần lượt có các VTCP ${{\overrightarrow{a}}_{1}},\ {{\overrightarrow{a}}_{2}}$.

Góc giữa ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}$ bằng hoặc bù với góc giữa ${{\overrightarrow{a}}_{1}},\ {{\overrightarrow{a}}_{2}}$ là: $\cos \left( {{\overrightarrow{a}}_{1}},{{\overrightarrow{a}}_{2}} \right)=\frac{\left| {{\overrightarrow{a}}_{1}}.{{\overrightarrow{a}}_{2}} \right|}{\left| {{\overrightarrow{a}}_{1}} \right|.\left| {{\overrightarrow{a}}_{2}} \right|}$

3.8.2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} \right)$  và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có VTPT $\overrightarrow{n}=\left( A,B,C \right)$.

Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ bằng góc giữa đường thẳng $d$ với hình chiếu $d$’ của nó trên $\left( \alpha  \right)$ là: $\sin \left( \widehat{d,\left( \alpha  \right)} \right)=\frac{\left| A{{a}_{1}}+B{{a}_{2}}+C{{a}_{3}} \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{2}}}$

4. MẶT CẦU

4.1. Phương trình mặt cầu

4.1.1. Phương trình chính tắc

 4.1.2. Phương trình tổng quát

4.2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

4.3. Một số bài toán liên quan

4.3.1. Dạng 1

$\left( S \right)$  có tâm $I\left( a,b,c \right)$  và bán kính $R$ thì $\left( S \right)={{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$

4.3.2. Dạng 2

$\left( S \right)$ có tâm $I\left( a,b,c \right)$ và đi qua điểm $A$  thì bán kính $R=IA$.

4.3.3. Dạng 3

$\left( S \right)$ nhận đoạn thẳng $AB$ cho trước làm đường kính:

• Tâm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng

$AB:\ {{x}_{1}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\ {{y}_{1}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2};\ {{z}_{1}}=\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2}$

• Bán kính  $R=IA=\frac{AB}{2}$

4.3.4. Dạng 4

$\left( S \right)$ đi qua bốn điểm $A,B,C,D$ (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)

• Giả sử phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có dạng:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0\ \left( * \right)$

• Thay lần lượt toạ độ của các điểm $A,B,C,D$ vào (*) ta được 4 phương trình.
• Giải hệ phương trình đó, ta tìm được $a,\ b,\ c,d\ \Rightarrow $ Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ .

4.3.5. Dạng 5

$\left( S \right)$ đi qua ba điểm $A,\ B,\ C$ và có tâm $I$  nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ cho trước thì giải tương tự dạng 4

4.3.6. Dạng 6

$\left( S \right)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( T \right)$ cho trước:

• Xác định tâm I và bán kính R'  của mặt cầu ( T ) .
• Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$. (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và ngoài)

Chú ý:

4.3.7. Dạng 7

Viết phương trình mặt cầu ( S )  có tâm I(a,b,c) , tiếp xúc với mặt phẳng ( P )  cho trước thì bán kính mặt cầu R = d(I;( P ))

4.3.8. Dạng 8

Viết phương trình mặt cầu ( S )  có tâm I (a,b,c) , cắt mặt phẳng ( P )  cho trước theo giao tuyến là một đường tròn thoả điều kiện .

• Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ công thức diện tích đường tròn $S=\pi {{r}^{2}}$ hoặc chu vi đường tròn $P=2\pi r$ ta tìm được bán kính đường tròn giao tuyến $r$.
• Tính $d=d\left( I,\left( P \right) \right)$
• Tính bán kính mặt cầu $R=\sqrt{{{d}^{2}}+{{r}^{2}}}$
• Kết luận phương trình mặt cầu.

4.3.9. Dạng 9

Viết phương trình mặt cầu ( S )  tiếp xúc với một đường thẳng  $\Delta $ cho trước và có tâm I (a,b,c)  cho trước thì đường thẳng $\Delta $  tiếp xúc với mặt cầu ( S )  ta có R=d(I;$\Delta $) .

4.3.10. Dạng 10

4.3.10. Dạng 10

4.3.11. Dạng 11

Tập hợp điểm là mặt cầu. Giả sử tìm tập hợp điểm $M$ thoả tính chất $\left( P \right)$  nào đó.

• Tìm hệ thức giữa các toạ độ $x,\ y,z$ của điểm $M$

${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$     hoặc:   ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0$

• Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).

4.3.12. Dạng 12

Tìm tập hợp tâm mặt cầu

• Tìm toạ độ của tâm $I$, chẳng hạn: $\left\{ \begin{array}{l}
  x = f\left( t \right)\\
  y = g\left( t \right)\\
  z = h\left( t \right)
  \end{array} \right.$
• Khử $t$ trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.
• Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).

5. MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN

5.1. Dạng 1

Cho $\left( P \right)$ và hai điểm $A,B.$ Tìm $M\in \left( P \right)$ để ${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}$ ?

Phương pháp

• Nếu $A$ và $B$ trái phía so với $\left( P \right)\Rightarrow M,\ A,\ B$ thẳng hàng$\Rightarrow M=AB\cap \left( P \right)$
• Nếu $A$ và $B$ cùng phía so với $\left( P \right)$  thì tìm $B'$ là đối xứng của $B$  qua $\left( P \right)$

5.2. Dạng 2

Cho $\left( P \right)$ và hai điểm $A,B.$ Tìm $M\in \left( P \right)$ để ${{\left| MA-MB \right|}_{\max }}$ ?

Phương pháp

• Nếu $A$ và $B$ cùng phía so với $\left( P \right)\Rightarrow M,\ A,\ B$ thẳng hàng $\Rightarrow M=AB\cap \left( P \right)$
• Nếu $A$ và $B$ trái phía so với $\left( P \right)$ thì tìm $B'$  là đối xứng của $B$ qua $\left( P \right)$

$\Rightarrow \left| MA-MB' \right|=AB'$

5.3. Dạng 3

Cho điểm $M\left( {{x}_{M}},{{y}_{M}},{{z}_{M}} \right)$  không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình $\left( P \right)$ qua $M$ và cắt 3 tia $Ox,\ Oy,\ Oz$   lần lượt tại $A,\ B,\ C$ sao cho ${{V}_{O.ABC}}$  nhỏ nhất?

Phương pháp                       $\left( P \right):\frac{x}{3{{x}_{M}}}+\frac{y}{3{{y}_{M}}}+\frac{z}{3{{z}_{M}}}=1$

5.4. Dạng 4

Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d$ , sao cho khoảng cách từ điểm $M\not{\in }d$  đến $\left( P \right)$ là lớn nhất?

Phương pháp                      $\left( P \right):\left\{ \begin{array}{l}
Qua\;A \in d\\
{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left[ {\left[ {{{\overrightarrow u }_d},\overrightarrow {AM} } \right],{{\overrightarrow u }_d}} \right]
\end{array} \right.$

5.5. Dạng 5

Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ qua$A$  và cách $M$ một khảng lớn nhất ?

Phương pháp                      $\left( P \right):\left\{ \begin{array}{l}
Qua\;A\\
{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \overrightarrow {AM} 
\end{array} \right.$

5.6. Dạng 6

Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d$, sao cho $\left( P \right)$ tạo với $\Delta $ ($\Delta $  không song song với $d$) một góc lớn nhất  là lớn nhất ?

Phương pháp                      $\left( P \right):\left\{ \begin{array}{l}
Qua\;A \in d\\
{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left[ {\left[ {{{\overrightarrow u }_d},\overrightarrow {AM} } \right],{{\overrightarrow u }_d}} \right]
\end{array} \right.$

5.7. Dạng 7

Cho $\Delta //\left( P \right)$. Viết phương trình đường thẳng $d$ nằm trong $\left( P \right)$ song song với  $\Delta $  và cách $\Delta $ một khoảng nhỏ nhất ?

Phương pháp

Lấy $A\in \Delta $  , gọi $A'$  là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\left( P \right)$ thì $d:\left\{ \begin{array}{l}
Qua\;A'\\
{\overrightarrow u _d} = {\overrightarrow u _\Delta }
\end{array} \right.$

5.8. Dạng 8

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$  cho trước và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$cho trước sao cho khoảng cách từ điểm $M$ cho trước đến $d$ là lớn nhất  ($AM$ không vuông góc với $\left( P \right)$ ?

Phương pháp                      $d:\left\{ \begin{array}{l}
Qua\;A \in d\\
{\overrightarrow u _d} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\overrightarrow {AM} } \right]
\end{array} \right.$

5.9. Dạng 9

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ cho trước và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho trước sao cho khoảng cách từ điểm $M$ cho trước đến $d$ là nhỏ nhất ($AM$ không vuông góc với $\left( P \right)$ ?

Phương pháp                      $d:\;\left\{ \begin{array}{l}
Qua\;A \in d\\
{\overrightarrow u _d} = \left[ {\left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\overrightarrow {AM} } \right],{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right]
\end{array} \right.$

5.10. Dạng 10

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm  $A\in \left( P \right)$ cho trước, sao cho $d$ nằm trong $\left( P \right)$và tạo với đường thẳng $\Delta $  một góc nhỏ nhất  ($\Delta $ cắt nhưng không vuông góc với $\left( P \right)$)?

Phương pháp

 $d:\;\left\{ \begin{array}{l}
Qua\;A \in d\\
{\overrightarrow u _d} = \left[ {\left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\overrightarrow {AM} } \right],{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right]
\end{array} \right.$