Chứng minh vì sao chỉ có 5 loại khối đa diện đều ?

Vì sao chỉ mất 5 loại khối nhiều diện đều, chứng tỏ ấn định lí chỉ mất năm loại khối nhiều diện đều

Trong bài bác khối nhiều diện đều là gì, tất cả chúng ta sở hữu nói đến ấn định lí cần thiết về những loại khối nhiều diện đều. hầu hết người vướng mắc vì sao lại chỉ mất 5 loại khối nhiều diện đều?

Bạn đang xem: Chứng minh vì sao chỉ có 5 loại khối đa diện đều ?

Chỉ sở hữu 5 loại khối nhiều diện đều. Đó là những khối nhiều diện đều loại {3;3}, {3;4}, {4;3}, {3;5} và {5;3}.

Chứng minh chỉ mất 5 loại khối nhiều diện đều

Cho khối nhiều diện đều loại {p;q}. Gọi V, E, F thứu tự là số đỉnh, số cạnh, số mặt mũi của chính nó.

Ta sở hữu p là số cạnh của từng mặt mũi nhiều diện, F số mặt mũi của khối nhiều diện, suy rời khỏi pF là tổng số cạnh của toàn bộ những mặt mũi của khối nhiều diện. Mà một cạnh của nhiều diện kề với nhì mặt mũi của khối nhiều diện. Suy ra:

Ta lại sở hữu q là số mặt mũi bắt gặp nhau ở một đỉnh, V là tổng số đỉnh của khối nhiều diện. Suy rời khỏi qV là tổng số đỉnh của toàn bộ những mặt mũi của khối nhiều diện. Mặt không giống, q là số cạnh bắt gặp nhau ở một đỉnh. Mà từng cạnh link với nhì đỉnh của nhiều diện. Suy ra:

Vì vậy tao sở hữu đẳng thức sau

Mặt không giống, so với từng khối nhiều diện lồi tao đều có:

Xem thêm: Kích thước, size, khổ giấy A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7 - THẾ GIỚI IN ẤN

   (Đặc trưng Euler)

Rút F, V ở (1) và thế nhập (*) tao được:

Lưu ý rằng p ≥ 3, q ≥ 3 (vì từng nhiều diện sở hữu tối thiểu 3 cạnh, khối nhiều diện sở hữu tối thiểu 3 mặt mũi bắt gặp nhau ở một đỉnh). Bây giờ giả sử p, q nằm trong to hơn 3 (tức p ≥ 4, q ≥ 4) thì tiếp tục dẫn đến

 .  Như vậy là bất hợp lí.

Điều bất hợp lí này cho tới tao p, q ko thể mặt khác to hơn 3. Suy ra p = 3 và q ≥ 3 hoặc p ≥ 3 và q = 3. 

Trường phù hợp p = 3. Thế nhập (2) tao được:

Do q là số nguyên vẹn nên q chỉ rất có thể là 3, 4, 5 (E tồn bên trên ứng là 6, 12, 30).

Xem thêm: Tất tần tật về Xuất nhập khẩu tại chỗ (XNK TC) là gì?

Trường phù hợp q = 3. Tương tự động tao cũng suy rời khỏi được p = 3, 4, 5. 

Cả 2 tình huống, tao chỉ sẽ có được năm cặp số (3,3), (3,4), (4,3), (3,5), (5,3) ứng với 5 loại khối nhiều diện đều là {3;3}, {3;4}, {4;3}, {3;5} và {5;3}.

Định lí được chứng tỏ.