Các phương pháp tính định thức của ma trận

>>Xem thêm Các dạng toán về quái trận nghịch tặc hòn đảo và cách thức giải

>>Xem thêm Các dạng toán về hạng của quái trận và cách thức giải

>> Độc lập tuyến tính và dựa vào tuyến tính

>>Định thức của quái trận và những đặc thù của tấp tểnh thức

>> Chứng minh một quái trận suy thay đổi và quái trận khả nghịch

>>Xem thêm Phép nhân quái trận và những tính chất

>>Cơ sở của không khí véctơ

Phần bù đại số

Cho quái trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ Khi bại liệt ${{A}_{ij}}={{(-1)}^{i+j}}{{M}_{ij}},$ với ${{M}_{ij}}$ là tấp tểnh thức cảm nhận được kể từ tấp tểnh thức của quái trận $A$ bằng phương pháp loại bỏ loại $i$ và cột $j$ được gọi là phần bù đại số của thành phần ${{a}_{ij}}.$

Bạn đang xem: Các phương pháp tính định thức của ma trận | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Ví dụ 1:Cho quái trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&m\\ 3&1&4&2\\ { - 3}&4&2&1\\ { - 1}&2&1&3 \end{array}} \right).$

Tính những phần bù đại số ${{A}_{11}},{{A}_{12}},{{A}_{13}},{{A}_{14}}.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{l} {A_{11}} = {( - 1)^{1 + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&4&2\\ 4&2&1\\ 2&1&3 \end{array}} \right| = - 35;{A_{12}} = {( - 1)^{1 + 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&2\\ { - 3}&2&1\\ { - 1}&1&3 \end{array}} \right| = - 45;\\ {A_{13}} = {( - 1)^{1 + 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&2\\ { - 3}&4&1\\ { - 1}&2&3 \end{array}} \right| = 34;{A_{14}} = {( - 1)^{1 + 4}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&4\\ { - 3}&4&2\\ { - 1}&2&1 \end{array}} \right| = 7. \end{array}$

Công thức khai triển Laplace

Cho quái trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ Khi đó

$\det (A)={{a}_{i1}}{{A}_{i1}}+{{a}_{i2}}{{A}_{i2}}+...+{{a}_{in}}{{A}_{in}}\text{ }(i=1,2,...,n)$

đây là công thức khai triển tấp tểnh thức quái trận $A$ bám theo loại loại $i.$

$\det (A)={{a}_{1j}}{{A}_{1j}}+{{a}_{2j}}{{A}_{2j}}+...+{{a}_{nj}}{{A}_{nj}}\text{ }(j=1,2,...,n)$

đây là công thức khai triển tấp tểnh thức quái trận $A$ bám theo nằm trong loại $j.$

Các em cần thiết xem xét lại tính tấp tểnh thức cấp cho 2 và cấp cho 3 với mọi đặc thù của tấp tểnh thức bên trên nội dung bài viết này: https://dulichsenvang.vn/tin-tuc/dinh-thuc-cua-ma-tran-va-cac-tinh-chat-4783.html

>>Xem thêm Tổng phù hợp đề đua và giải cụ thể Đề Giữa kì Đại số tuyến tính Đại học tập bách khoa Hà Thành học tập kì 20191

>>Xem thêm Tổng phù hợp đề đua và giải cụ thể Đề Giữa kì Giải tích 1 Đại học tập bách khoa Hà Thành học tập kì 20191

Ví dụ 1: Tính tấp tểnh thức của quái trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&m\\ 3&1&4&2\\ { - 3}&4&2&1\\ { - 1}&2&1&3 \end{array}} \right)$ bám theo công thức khai triển loại 1.

Giải. Có $\det (A)=1.{{A}_{11}}+2.{{A}_{12}}-1.{{A}_{13}}+m.{{A}_{14}},$ nhập bại liệt

Vậy $\det (A)=-35+2.(-45)-34+7m=7m-159.$

Ví dụ 2: Tính tấp tểnh thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&2\\ { - 3}&1&5&1\\ { - 2}&5&0&0\\ 2&{ - 1}&3&{ - 1} \end{array}} \right|.$

Giải. Để ý loại 3 của tấp tểnh thức với 2 thành phần bởi vì 0 nên khai triển bám theo loại này tiếp tục chỉ mất nhì số hạng

Có \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&2\\ { - 3}&1&5&1\\ { - 2}&5&0&0\\ 2&{ - 1}&3&{ - 1} \end{array}} \right| = - 2{A_{31}} + 5{A_{32}} = - 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ 1&5&1\\ { - 1}&3&{ - 1} \end{array}} \right| + 5\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2\\ { - 3}&5&1\\ 2&3&{ - 1} \end{array}} \right| = - 2.8 + 5.( - 48) = 224.\]

Video Bài giảng Các cách thức tính tấp tểnh thức quái trận

Ví dụ 3: Tính tấp tểnh thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&2&{ - m}\\ { - 2}&{ - 1}&2&1\\ 0&{ - 3}&4&2\\ 0&{ - 5}&1&1 \end{array}} \right|.$

Giải. Để ý cột 1 với 3 thành phần bởi vì 0 nên khai triển bám theo cột 1 tớ có

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&2&{ - m}\\ { - 2}&{ - 1}&2&1\\ 0&{ - 3}&4&2\\ 0&{ - 5}&1&1 \end{array}} \right| = 0.{A_{11}} - 2{A_{21}} + 0{A_{31}} + 0{A_{41}} = - 2{A_{21}} = - 2{( - 1)^{2 + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - m}\\ { - 3}&4&2\\ { - 5}&1&1 \end{array}} \right| = - 34m - 24.\]

Ví dụ 4: Tính tấp tểnh thức \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&4&1&2\\ { - m}&1&{ - 3}&1\\ 2&{ - 3}&1&4\\ { - 1}&2&1&3 \end{array}} \right|.\]

Giải. Để ý cột 3 với thành phần trước tiên là 1 trong, vậy tớ tiếp tục thay đổi sơ cấp cho mang đến tấp tểnh thức bám theo cột 3

Ví dụ 5: Tính tấp tểnh thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&4\\ { - 1}&3&1&{ - m}\\ 2&{ - 4}&3&1\\ { - 3}&2&1&2 \end{array}} \right|.$

Giải. Có

Ví dụ 6: Cho quái trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&4\\ { - 1}&3&1&{ - m}\\ { - 2}&{ - 2}&{ - 2}&{ - 2}\\ { - 3}&2&1&2 \end{array}} \right).$ Tính tổng những phần bù đại số của những thành phần nằm trong loại 4 của quái trận $A.$

Giải. Thay những thành phần ở loại 4 của quái trận A bởi vì $-2,$ tớ được quái trận $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&4\\ { - 1}&3&1&{ - m}\\ { - 2}&{ - 2}&{ - 2}&{ - 2}\\ { - 2}&{ - 2}&{ - 2}&{ - 2} \end{array}} \right)$ với tấp tểnh thức bởi vì 0 vì như thế với nhì loại tương tự nhau và nhì quái trận $A,B$ với những phần bù đại số của những thành phần loại 4 tương tự nhau.

Vậy $\det (B)=-2{{A}_{41}}-2{{A}_{42}}-2{{A}_{43}}-2{{A}_{44}}=0\Leftrightarrow {{A}_{41}}+{{A}_{42}}+{{A}_{43}}+{{A}_{44}}=0.$

Ví dụ 7: Cho quái trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ { - 2}&{ - 1}&4&1\\ 3&{ - 4}&{ - 5}&6\\ { - 4}&5&{ - 6}&7 \end{array}} \right).$ Tính ${{A}_{41}}+2{{A}_{42}}+3{{A}_{43}}+4{{A}_{44}}.$

Giải. Thay những thành phần ở loại 4 của quái trận A theo lần lượt bởi vì $1,2,3,4$ tớ được quái trận $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ { - 2}&{ - 1}&4&1\\ 3&{ - 4}&{ - 5}&6\\ 1&2&3&4 \end{array}} \right)$ với tấp tểnh thức bởi vì 0 vì như thế với nhì loại tương tự nhau và nhì quái trận $A,B$ với những phần bù đại số của những thành phần loại 4 tương tự nhau

Vậy $\det (B)=1{{A}_{41}}+2{{A}_{42}}+3{{A}_{43}}+4{{A}_{44}}=0\Leftrightarrow {{A}_{41}}+2{{A}_{42}}+3{{A}_{43}}+4{{A}_{44}}=0.$

Ví dụ 8: Cho mang đến phụ vương véctơ ${{X}_{1}}=(3,-2,4,1),{{X}_{2}}=(-2,1,3,-2),{{X}_{3}}=(-3,-1,k,2).$ Tìm một véctơ ${{X}_{4}}\in {{\mathbb{R}}^{4}}$ nhằm hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}$ là một trong những hạ tầng của ${{\mathbb{R}}^{4}}.$

Giải. Gọi ${{X}_{4}}=(a,b,c,d).$ Xét quái trận A nhận những véctơ ${{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}}$ thực hiện véctơ loại, với $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&4&1\\ { - 2}&1&3&{ - 2}\\ { - 3}&{ - 1}&k&2\\ a&b&c&d \end{array}} \right).$

Ta cần thiết mò mẫm một cỗ số $(a,b,c,d)$ hệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}$ là một trong những hạ tầng của ${{\mathbb{R}}^{4}}$ hayhệ véctơ $\left\{ {{X}_{1}},{{X}_{2}},{{X}_{3}},{{X}_{4}} \right\}$ song lập tuyến tính hoặc $\det (A)\ne 0.$ Khai triển bám theo loại 4 có:

$\begin{array}{c} \det (A) = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{A_{43}} + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + c{( - 1)^{4 + 3}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&1\\ { - 2}&1&{ - 2}\\ { - 3}&{ - 1}&2 \end{array}} \right| + d{A_{44}}\\ = a{A_{41}} + b{A_{42}} + 15c + d{A_{44}}. \end{array}$

Vậy tớ chỉ việc lựa chọn $a=b=d=0,c\ne 0$ Khi bại liệt $\det (A)=15c\ne 0.$ Vậy ${{X}_{4}}=(0,0,c,0),c\ne 0$ là một trong những véctơ cần thiết mò mẫm.

Ví dụ 9: Cho D là một trong những tấp tểnh thức cấp cho n với toàn bộ những thành phần của một loại loại i bởi vì 1. Chứng minh rằng:

a) Tổng những phần bù đại số của những thành phần nằm trong từng loại không giống loại loại i đều bởi vì 0.

b) Định thức D bởi vì tổng phần bù đại số của toàn bộ những thành phần của chính nó.

Xem lời nói giải bên trên đây: https://askmath.vn/cau-hoi/Cho-la-mot-dinh-thuc-cap-co-tat-ca-cac-phan-tu-cua-mot-dong-thu-/8cb667f9-98ed-44f7-a495-0bc08d1fa756

Ví dụ 10: Cho quái trận vuông $A={{({{a}_{ij}})}_{n\times n}}$ và ${{A}_{ij}}$ là phần bù đại số của thành phần ${{a}_{ij}}.$ Chứng minh rằng:

i) ${a_{i1}}{A_{k1}} + {a_{i2}}{A_{k2}} + ... + {a_{in}}{A_{kn}} = \left\{ \begin{gathered} \det (A),i = k \hfill \\ 0,i \ne k \hfill \\ \end{gathered} \right.;$

ii) ${a_{1j}}{A_{1q}} + {a_{2j}}{A_{2q}} + ... + {a_{nj}}{A_{nq}} = \left\{ \begin{gathered} \det (A),j = q \hfill \\ 0,j \ne q \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Xem lời nói giải bên trên đây: https://askmath.vn/cau-hoi/cho-ma-tran-vuong-aaijntimes-n-va-aij-la-phan-bu-dai-so-cua-phan-tu-/fd47efcc-5325-42d0-a707-782d7bc91ef5

Ví dụ 11: Cho nhì quái trận \[A={{\left( {{a}_{ij}} \right)}_{n\times n}},B={{\left( {{b}_{ij}} \right)}_{n\times n}}\] nhập bại liệt ${{b}_{ij}}={{a}_{ij}}+x,\forall i,j=1,2,...,n.$ Chứng minh rằng tổng những phần bù đại số của $\det \left( A \right)$ và $\det \left( B \right)$ đều bằng nhau.

>>Xem thêm thắt những tìm hiểu thêm cho tới hệ phương trình tuyến tính

Bài 1: Hệ phương trình Cramer

Bài 2: Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Bài 4: Mô hình Input - Output của Leontief

Bài 5: Mô hình cân đối thị ngôi trường và cân đối tài chính vĩ mô

Định thức của quái trận tam giác

Định thức của quái trận tam giác bởi vì tích những thành phần phía trên đàng chéo cánh chính

Thật vậy, so với quái trận tam giác bên trên khai triển bám theo cột 1 có:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\ 0&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&{{a_{nn}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{...}&{{a_{2n}}} \\ 0&{{a_{33}}}&{...}&{{a_{3n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&{{a_{nn}}} \end{array}} \right|\]

\[ = {a_{11}}{a_{22}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{33}}}&{{a_{34}}}&{...}&{{a_{3n}}} \\ 0&{{a_{44}}}&{...}&{{a_{4n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&{{a_{nn}}} \end{array}} \right| = ... = {a_{11}}{a_{22}}...{a_{nn}}.\]

đối với quái trận tam giác bên dưới khai triển bám theo loại 1.

Ví dụ 1: $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \\ 0&0&2&0 \\ 0&3&0&0 \\ 0&0&0&4 \end{array}} \right| = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \\ 0&2&0&0 \\ 0&0&3&0 \\ 0&0&0&4 \end{array}} \right| = - 1.2.3.4 = - 24\left( {{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{3}}}} \right)$

Tính tấp tểnh thức dựa vào những đặc thù tấp tểnh thức thông qua biến đổi sơ cấp cho, công thức khai triển Laplace và thay đổi về quái trận tam giác

Câu chất vấn luyện tập:

Rèn luyện tính tấp tểnh thức của quái trận trải qua những Việc tấp tểnh thức của quái trận vuông cấp cho 3, cấp cho 4 và cấp cho 5

Ví dụ 1: Tính tấp tểnh thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - hắn - z}&{2x}&{2x}\\ {2y}&{y - z - x}&{2y}\\ {2z}&{2z}&{z - hắn - x} \end{array}} \right|.$

Giải. Có

\[\begin{array}{l} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - hắn - z}&{2x}&{2x}\\ {2y}&{y - z - x}&{2y}\\ {2z}&{2z}&{z - hắn - x} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + hắn + z}&{x + hắn + z}&{x + hắn + z}\\ {2y}&{y - z - x}&{2y}\\ {2z}&{2z}&{z - hắn - x} \end{array}} \right|\left( {{{\bf{d}}_{\bf{3}}}{\bf{ + }}{{\bf{d}}_{\bf{2}}}{\bf{ + }}{{\bf{d}}_{\bf{1}}}} \right)\\ = (x + hắn + z)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ {2y}&{y - z - x}&{2y}\\ {2z}&{2z}&{z - hắn - x} \end{array}} \right|\\ = (x + hắn + z)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ {2y}&{ - (x + hắn + z)}&0\\ {2z}&0&{ - (x + hắn + z)} \end{array}} \right|\left( \begin{array}{l} {\bf{ - }}{{\bf{c}}_{\bf{1}}}{\bf{ + }}{{\bf{c}}_{\bf{2}}}\\ {\bf{ - }}{{\bf{c}}_{\bf{1}}}{\bf{ + }}{{\bf{c}}_{\bf{3}}} \end{array} \right) = {(x + hắn + z)^3}. \end{array}\]

Ví dụ 2: Tính tấp tểnh thức \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&5&0&{ - 1}&3 \\ 1&0&3&7&{ - 2} \\ 3&{ - 1}&0&5&{ - 5} \\ 2&6&{ - 4}&1&2 \\ 0&{ - 3}&{ - 1}&2&3 \end{array}} \right|\] bằng phương pháp thay đổi sơ cấp cho trả về tấp tểnh thức của quái trận vuông cấp cho 3.

Giải. Ta với \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&5&0&{ - 1}&3 \\ 1&0&3&7&{ - 2} \\ 3&{ - 1}&0&5&{ - 5} \\ 2&6&{ - 4}&1&2 \\ 0&{ - 3}&{ - 1}&2&3 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&5&6&{13}&{ - 1} \\ 1&0&3&7&{ - 2} \\ 0&{ - 1}&{ - 9}&{ - 16}&1 \\ 0&6&{ - 10}&{ - 13}&6 \\ 0&{ - 3}&{ - 1}&2&3 \end{array}} \right|\left( \begin{gathered} {\mathbf{2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}} \hfill \\ {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \hfill \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \hfill \\ \end{gathered} \right)\]

\[ = 1.{\left( { - 1} \right)^{1 + 2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 5&6&{13}&{ - 1} \\ { - 1}&{ - 9}&{ - 16}&1 \\ 6&{ - 10}&{ - 13}&6 \\ { - 3}&{ - 1}&2&3 \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{khai\_trien\_theo\_}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}} \right)\]

\[ = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 5&6&{13}&{ - 1} \\ 4&{ - 3}&{ - 3}&0 \\ {36}&{26}&{65}&0 \\ {12}&{17}&{41}&0 \end{array}} \right|\left( \begin{gathered} {{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \hfill \\ {\mathbf{6}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \hfill \\ {\mathbf{3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \hfill \\ \end{gathered} \right)\]

\[ = - \left( { - 1} \right).{\left( { - 1} \right)^{1 + 4}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 3}&{ - 3} \\ {36}&{26}&{65} \\ {12}&{17}&{41} \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{khai\_trien\_theo\_}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}}} \right) = - 1032.\]

Ví dụ 3: Bằng phép tắc thay đổi sơ cấp cho trả về tấp tểnh thức của quái trận tam giác nhằm tính tấp tểnh thức của quái trận \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1&1&1&1\\ 1&0&1&1&1&1\\ 1&1&0&1&1&1\\ 1&1&1&0&1&1\\ 1&1&1&1&0&1\\ 1&1&1&1&1&0 \end{array}} \right).\]

Giải. Ta có

$\begin{array}{c} \det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1&1&1&1\\ 1&0&1&1&1&1\\ 1&1&0&1&1&1\\ 1&1&1&0&1&1\\ 1&1&1&1&0&1\\ 1&1&1&1&1&0 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 5&5&5&5&5&5\\ 1&0&1&1&1&1\\ 1&1&0&1&1&1\\ 1&1&1&0&1&1\\ 1&1&1&1&0&1\\ 1&1&1&1&1&0 \end{array}} \right|\left( {\sum\limits_{{\bf{i = 2}}}^{\bf{6}} {{{\bf{d}}_{\bf{i}}}} {\bf{ + }}{{\bf{d}}_{\bf{1}}}} \right)\\ = 5\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1&1&1\\ 1&0&1&1&1&1\\ 1&1&0&1&1&1\\ 1&1&1&0&1&1\\ 1&1&1&1&0&1\\ 1&1&1&1&1&0 \end{array}} \right| = 5\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1&1&1\\ 0&{ - 1}&0&0&0&0\\ 0&0&{ - 1}&0&0&0\\ 0&0&0&{ - 1}&0&0\\ 0&0&0&0&{ - 1}&0\\ 0&0&0&0&0&{ - 1} \end{array}} \right|\left( {{\bf{ - }}{{\bf{d}}_{\bf{1}}}{\bf{ + }}{{\bf{d}}_{\bf{i}}}{\bf{,i = 2,...,6}}} \right) = - 5. \end{array}$

Ví dụ 4: Tính tấp tểnh thức của quái trận \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&0 \\ 2&1&0&3 \\ 3&m&{ - 5}&{ - 3} \\ 3&3&{ - 1}&1 \end{array}} \right)\] bởi vì phép tắc thay đổi trả về tấp tểnh thức của quái trận vuông cấp cho 2, kể từ bại liệt $m$ nhằm quái trận đang được mang đến không suy thay đổi.

Giải. Có thay đổi tấp tểnh thức:

\[\begin{gathered} \det (A) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&0 \\ 2&1&0&3 \\ 3&m&{ - 5}&{ - 3} \\ 3&3&{ - 1}&1 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&0 \\ { - 7}&{ - 8}&3&0 \\ {12}&{m + 9}&{ - 8}&0 \\ 3&3&{ - 1}&1 \end{array}} \right|\left( \begin{gathered} {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \hfill \\ {\mathbf{3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \hfill \\ \end{gathered} \right) \\ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1} \\ { - 7}&{ - 8}&3 \\ {12}&{m + 9}&{ - 8} \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{khai\_trien\_theo\_}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ { - 7}&6&{ - 4} \\ {12}&{m - 15}&4 \end{array}} \right|\left( \begin{gathered} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}} \hfill \\ {{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{3}}} \hfill \\ \end{gathered} \right) \\ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 6&{ - 4} \\ {m - 15}&4 \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{khai\_trien\_theo\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}} \right) = 24 + 4(m - 15) = 4m - 36. \\ \end{gathered} \]

Vậy quái trận đang được mang đến không suy thay đổi Khi và chỉ Khi $\det (A)\ne 0\Leftrightarrow 4m-36\ne 0\Leftrightarrow m\ne 9.$

Ví dụ 5: Giải phương trình $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{x + 1}&{ - x}\\ x&2&{x - 1}&{x + 1}\\ 2&{2 + x}&{2x}&1\\ 3&{ - x}&1&x \end{array}} \right| = 0.$

Giải. Ta có

$\begin{array}{c} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{x + 1}&{ - x}\\ x&2&{x - 1}&{x + 1}\\ 2&{2 + x}&{2x}&1\\ 3&{ - x}&1&x \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{x + 1}&{ - x}\\ {x + 1}&{x + 2}&{2x}&1\\ 2&{2 + x}&{2x}&1\\ 4&0&{x + 2}&0 \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1} + {d_2}}\\ {{d_1} + {d_4}} \end{array}\\ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{x + 1}&{ - x}\\ {x + 1}&{x + 2}&{2x}&1\\ {1 - x}&0&0&0\\ 4&0&{x + 2}&0 \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} { - {d_2} + {d_3}} \end{array}\\ = (1 - x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&{x + 1}&{ - x}\\ {x + 2}&{2x}&1\\ 0&{x + 2}&0 \end{array}} \right| = (x - 1)x(x + 2)(x + 3). \end{array}$

Vậy $(x-1)x(x+2)(x+3)=0\Leftrightarrow x=0;x=1;x=-2;x=-3.$

Câu 55. Tính tấp tểnh thức \[D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&{...}&{n - 1}&n \\ { - x}&x&0&{...}&0&0 \\ 0&{ - x}&x&{...}&0&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&{...}&{ - x}&x \end{array}} \right|.\]

Giải. Cộng toàn bộ những cột nhập cột 1 tớ được:

\[D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {n(n + 1)/2}&2&3&{...}&{n - 1}&n \\ 0&x&0&{...}&0&0 \\ 0&{ - x}&x&{...}&0&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&{...}&{ - x}&x \end{array}} \right|\left( {{{\mathbf{c}}_{\mathbf{n}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{{\mathbf{n - 1}}}}{\mathbf{ + ... + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}} \right)\]

Sau bại liệt khai triển bám theo cột 1 tớ được: \[D = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&0&{...}&0&0 \\ { - x}&x&{...}&0&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&{ - x}&x \end{array}} \right| = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}{x^{n - 1}}.\]

Xem thêm: Thì hiện tại tiếp diễn (Present Continuous) | Cách dùng và bài tập [2023]

Ví dụ 7: Tính tấp tểnh thức \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&c&d \\ b&c&d&a \\ c&d&a&b \\ d&a&b&c \end{array}} \right|.\]

Giải. Có thay đổi tấp tểnh thức:

\[\begin{gathered} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&c&d \\ b&c&d&a \\ c&d&a&b \\ d&a&b&c \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a + b + c + d}&{a + b + c + d}&{a + b + c + d}&{a + b + c + d} \\ b&c&d&a \\ c&d&a&b \\ d&a&b&c \end{array}} \right|\left( {{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}} \right) \\ = (a + b + c + d)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1 \\ b&c&d&a \\ c&d&a&b \\ d&a&b&c \end{array}} \right| = (a + b + c + d)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&0 \\ b&c&d&{a - b + c - d} \\ c&d&a&{ - a + b - c + d} \\ d&a&b&{a - b + c - d} \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{ - }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ - }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}}} \right) \\ = (a + b + c + d)(a - b + c - d)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&0 \\ b&c&d&1 \\ c&d&a&{ - 1} \\ d&a&b&1 \end{array}} \right| \\ = (a + b + c + d)(a - b + c - d)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&0 \\ {b + c}&{c + d}&{a + d}&0 \\ c&d&a&{ - 1} \\ {c + d}&{a + d}&{a + b}&0 \end{array}} \right|\left( \begin{gathered} {{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \hfill \\ {{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \hfill \\ \end{gathered} \right) \\ = (a + b + c + d)(a - b + c - d)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1 \\ {b + c}&{c + d}&{a + d} \\ {c + d}&{a + d}&{a + b} \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{khai\_trien\_}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{4}}}} \right) \\ = (a + b + c + d)(a - b + c - d)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ {b + c}&{d - b}&{a + d - b - c} \\ {c + d}&{a - c}&{a + b - c - d} \end{array}} \right|\left( \begin{gathered} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}} \hfill \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{3}}} \hfill \\ \end{gathered} \right) \\ = (a + b + c + d)(a - b + c - d)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {d - b}&{a + d - b - c} \\ {a - c}&{a + b - c - d} \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{khai\_trien\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}} \right) \\ = (a + b + c + d)(a - b + c - d)\left( {(d - b)(a + b - c - d) - (a - c)(a + d - b - c)} \right) \\ = - (a + b + c + d)(a - b + c - d)\left( {{{(a - c)}^2} + {{(b - d)}^2}} \right) \\ \end{gathered} \]

Ví dụ 8: Tính tấp tểnh thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&{...}&b\\ b&a&{...}&b\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ b&b&{...}&a \end{array}} \right|.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{l} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&{...}&b\\ b&a&{...}&b\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ b&b&{...}&a \end{array}} \right|\underline{\underline {c2 + c3 + ... + cn + c1}} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a + (n - 1)b}&b&{...}&b\\ {a + (n - 1)b}&a&{...}&b\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {a + (n - 1)b}&b&{...}&a \end{array}} \right|\\ = \left( {a + (n - 1)b} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&b&{...}&b\\ 1&a&{...}&b\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ 1&b&{...}&a \end{array}} \right|\\ \underline{\underline { - {d_1} + {d_i}}} \left( {a + (n - 1)b} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&b&{...}&b\\ 0&{a - b}&{...}&b\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ 0&0&{...}&{a - b} \end{array}} \right| = \left( {a + (n - 1)b} \right){(b - b)^{n - 1}}. \end{array}$

Ví dụ 9: Chứng minh rằng quái trận $X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\dfrac{1}{a}}&{\dfrac{1}{{{a^2}}}}&{\dfrac{1}{{{a^3}}}}&{\dfrac{1}{{{a^4}}}}\\ a&0&{\dfrac{1}{a}}&{\dfrac{1}{{{a^2}}}}&{\dfrac{1}{{{a^3}}}}\\ {{a^2}}&a&0&{\dfrac{1}{a}}&{\dfrac{1}{{{a^2}}}}\\ {{a^3}}&{{a^2}}&a&0&{\dfrac{1}{a}}\\ {{a^4}}&{{a^3}}&{{a^2}}&a&0 \end{array}} \right),a \ne 0$ với tấp tểnh thức không phụ nằm trong nhập $a.$

Giải. Ta có:

$\begin{array}{c} \det (X) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\dfrac{1}{a}}&{\dfrac{1}{{{a^2}}}}&{\dfrac{1}{{{a^3}}}}&{\dfrac{1}{{{a^4}}}}\\ a&0&{\dfrac{1}{a}}&{\dfrac{1}{{{a^2}}}}&{\dfrac{1}{{{a^3}}}}\\ {{a^2}}&a&0&{\dfrac{1}{a}}&{\dfrac{1}{{{a^2}}}}\\ {{a^3}}&{{a^2}}&a&0&{\dfrac{1}{a}}\\ {{a^4}}&{{a^3}}&{{a^2}}&a&0 \end{array}} \right| = \dfrac{1}{{{a^4}}}.\dfrac{1}{{{a^3}}}.\dfrac{1}{{{a^2}}}.\dfrac{1}{a}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{a^3}}&{{a^2}}&a&1\\ {{a^4}}&0&{{a^2}}&a&1\\ {{a^4}}&{{a^3}}&0&a&1\\ {{a^4}}&{{a^3}}&{{a^2}}&0&1\\ {{a^4}}&{{a^3}}&{{a^2}}&a&0 \end{array}} \right|\\ = \dfrac{1}{{{a^{10}}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{a^3}}&{{a^2}}&a&1\\ {{a^4}}&{ - {a^3}}&0&0&0\\ {{a^4}}&0&{ - {a^2}}&0&0\\ {{a^4}}&0&0&a&0\\ {{a^4}}&{{a^3}}&{{a^2}}&a&0 \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}} { - {d_1} + {d_2}}\\ { - {d_1} + {d_3}}\\ { - {d_1} + {d_4}} \end{array} = \dfrac{1}{{{a^{10}}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^4}}&{ - {a^3}}&0&0\\ {{a^4}}&0&{ - {a^2}}&0\\ {{a^4}}&0&0&a\\ {{a^4}}&{{a^3}}&{{a^2}}&a \end{array}} \right|\\ = \dfrac{1}{{{a^{10}}}}.{a^4}.{a^3}.{a^2}.a\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&0&0\\ 1&0&{ - 1}&0\\ 1&0&0&1\\ 1&1&1&0 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&0&0\\ 1&0&{ - 1}&0\\ 1&0&0&1\\ 1&1&1&1 \end{array}} \right| = - 2. \end{array}$

Ví dụ 10: Tính tấp tểnh thức \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&x&x&{...}&x \\ x&0&x&{...}&x \\ x&x&0&{...}&x \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ x&x&x&{...}&0 \end{array}} \right|.\]

Giải. Ta với thay đổi tấp tểnh thức:

$\begin{gathered} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&x&x&{...}&x \\ x&0&x&{...}&x \\ x&x&0&{...}&x \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ x&x&x&{...}&0 \end{array}} \right|. = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {(n - 1)x}&x&{...}&x \\ {(n - 1)x}&0&{...}&x \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {(n - 1)x}&x&{...}&0 \end{array}} \right|\left( {{{\mathbf{c}}_{\mathbf{n}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{{\mathbf{n - 1}}}}{\mathbf{ + ... + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}} \right) \\ = (n - 1)x\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{...}&x \\ 1&0&{...}&x \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ 1&x&{...}&0 \end{array}} \right| \\ = (n - 1)x\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{...}&x \\ 0&{ - x}&{...}&x \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&{ - x} \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{i}}}} \right) = (n - 1)x.{( - x)^{n - 1}}. \\ \end{gathered} $

Ví dụ 11: Tính tấp tểnh thức ${{\mathbf{d}}_{\mathbf{n}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&0&{...}&0 \\ 1&{1 + a}&a&{...}&0 \\ 0&1&{1 + a}&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&{...}&{1 + a} \end{array}} \right|.$

Giải. Có

\[\begin{gathered} {{\mathbf{d}}_{\mathbf{n}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&0&{...}&0 \\ 1&{1 + a}&a&{...}&0 \\ 0&1&{1 + a}&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&{...}&{1 + a} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&0&{...}&0 \\ 0&1&a&{...}&0 \\ 0&1&{1 + a}&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&{...}&{1 + a} \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}} \right) \\ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{...}&0 \\ 1&{1 + a}&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&{1 + a} \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{khai\_trien\_theo\_cot\_1}}} \right){\mathbf{ = }}{{\mathbf{d}}_{{\mathbf{n - 1}}}}{\mathbf{ = ... = }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ = 1.}} \\ \end{gathered} \]

Ví dụ 12: Tính tấp tểnh thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + a}&1&1&1 \\ 1&{1 + b}&1&1 \\ 1&1&{1 + c}&1 \\ 1&1&1&{1 + d} \end{array}} \right|.$

Giải. Ta với \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + a}&1&1&1 \\ 1&{1 + b}&1&1 \\ 1&1&{1 + c}&1 \\ 1&1&1&{1 + d} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - a}&{ - a}&{ - a - d - ad} \\ 0&b&0&{ - d} \\ 0&0&c&{ - d} \\ 1&1&1&{1 + d} \end{array}} \right|\left( \begin{gathered} {\mathbf{ - }}\left( {{\mathbf{1 + a}}} \right){{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}} \hfill \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \hfill \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \hfill \\ \end{gathered} \right)\]

\[ = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - a}&{ - a}&{ - a - d - ad} \\ b&0&{ - d} \\ 0&c&{ - d} \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{khai\_trien\_theo\_}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}} \right)\]

\[ = a\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - d} \\ c&{ - d} \end{array}} \right| + b\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - a}&{ - a - d - ad} \\ c&{ - d} \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{khai\_trien\_theo\_}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}} \right)\]

\[ = acd + b\left( {ad + c\left( {a + d + ad} \right)} \right) = abcd + abc + bcd + dca.\]

Ví dụ 13: Tính tấp tểnh thức \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&{...}&{2022}&{2023} \\ 2&1&2&{...}&{2021}&{2022} \\ 3&2&1&{...}&{2020}&{2021} \\ 4&3&2&{...}&{2019}&{2020} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {2023}&{2022}&{2021}&{...}&2&1 \end{array}} \right|.\]

Giải. Ta có \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&{...}&{2022}&{2023} \\ 2&1&2&{...}&{2021}&{2022} \\ 3&2&1&{...}&{2020}&{2021} \\ 4&3&2&{...}&{2019}&{2020} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {2023}&{2022}&{2021}&{...}&2&1 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&{...}&{2022}&{2024} \\ 2&1&2&{...}&{2021}&{2024} \\ 3&2&1&{...}&{2020}&{2024} \\ 4&3&2&{...}&{2019}&{2024} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {2023}&{2022}&{2021}&{...}&2&{2024} \end{array}} \right|\left( {{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{c}}_{{\mathbf{2023}}}}} \right)\]

\[ = 2024\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&{...}&{2022}&1 \\ 2&1&2&{...}&{2021}&1 \\ 3&2&1&{...}&{2020}&1 \\ 4&3&2&{...}&{2019}&1 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {2023}&{2022}&{2021}&{...}&2&1 \end{array}} \right| = 2024\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&{...}&{2022}&1 \\ 1&{ - 1}&{ - 1}&{...}&{ - 1}&0 \\ 1&1&{ - 1}&{...}&{ - 1}&0 \\ 1&1&1&{...}&{ - 1}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 1&1&1&{...}&1&0 \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{{\mathbf{i + 1}}}}} \right)\]

\[ = 2024\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&{ - 1}&{...}&{ - 1} \\ 1&1&{ - 1}&{...}&{ - 1} \\ 1&1&1&{...}&{ - 1} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 1&1&1&{...}&1 \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{khai\_trien\_theo\_}}{{\mathbf{c}}_{{\mathbf{2023}}}}} \right)\]

\[ = 2024\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0&0&{...}&0 \\ 2&2&0&{...}&0 \\ 2&2&2&{...}&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 1&1&1&{...}&1 \end{array}} \right|\left( {{{\mathbf{d}}_{{\mathbf{2022}}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{i}}}} \right) = {2024.2^{2021}}.\]

Ví dụ 14: Cho những số thực $a,b,c,d$ không giống $-1$ thoả mãn \[\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{1}{d+1}=3.\] Tính tấp tểnh thức \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&b&c&d \\ a&{ - 1}&c&d \\ a&b&{ - 1}&d \\ a&b&c&{ - 1} \end{array}} \right|.\]

Giải. Ta có \[D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&b&c&d \\ a&{ - 1}&c&d \\ a&b&{ - 1}&d \\ a&b&c&{ - 1} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&b&c&d \\ {a + 1}&{ - b - 1}&0&0 \\ {a + 1}&0&{ - c - 1}&0 \\ {a + 1}&0&0&{ - d - 1} \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{i}}}} \right)\]

Sau bại liệt khai triển bám theo cột 1 tớ có

\[D = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - b - 1}&0&0 \\ 0&{ - c - 1}&0 \\ 0&0&{ - d - 1} \end{array}} \right| - \left( {a + 1} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} b&c&d \\ 0&{ - c - 1}&0 \\ 0&0&{ - d - 1} \end{array}} \right|\]

\[ + \left( {a + 1} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} b&c&d \\ { - b - 1}&0&0 \\ 0&0&{ - d - 1} \end{array}} \right| - \left( {a + 1} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} b&c&d \\ { - b - 1}&0&0 \\ 0&{ - c - 1}&0 \end{array}} \right|\]

\[=\left( b+1 \right)\left( c+1 \right)\left( d+1 \right)-\left( a+1 \right)b\left( c+1 \right)\left( d+1 \right)-\left( a+1 \right)c\left( b+1 \right)\left( d+1 \right)-\left( a+1 \right)d\left( b+1 \right)\left( c+1 \right)\]

\[=\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)\left( c+1 \right)\left( d+1 \right)\left[ \dfrac{1}{a+1}-\dfrac{b}{b+1}-\dfrac{c}{c+1}-\dfrac{d}{d+1} \right]\]

\[=\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)\left( c+1 \right)\left( d+1 \right)\left[ \dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{1}{d+1}-3 \right]\Rightarrow D=0.\]

Ví dụ 15: Cho những số thực $\alpha ,\beta $ và số nguyên vẹn $n\ge 4.$ Tính tấp tểnh thức của quái trận $A={{\left( {{a}_{ij}} \right)}_{n\times n}}$ với ${{a}_{ij}}={{i}^{2}}+{{j}^{2}}+\alpha ij+\beta ,\forall i,j=1,2,...,n.$

Giải Ta với ${{a}_{ij}}-{{a}_{i-1,j}}=\left( {{i}^{2}}+{{j}^{2}}+\alpha ij+\beta \right)-\left( {{\left( i-1 \right)}^{2}}+{{j}^{2}}+\alpha \left( i-1 \right)j+\beta \right)=2i+\alpha j-1,\forall i=2,...,n;j=1,2,...,n$

Do bại liệt tiến hành lấy $-{{d}_{i-1}}+{{d}_{i}},i=2,...,n$ tớ được $\det \left( A \right)=\det \left( B \right)$ với $B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\ {{b_{21}}}&{{b_{22}}}&{...}&{{b_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{b_{n1}}}&{{b_{n2}}}&{...}&{{b_{nn}}} \end{array}} \right),{b_{ij}} = 2i + \alpha j - 1,\forall i = 2,...,n;j = 1,2,...,n$

Ta với ${{b}_{ij}}-{{b}_{i-1,j}}=\left( 2i+\alpha j-1 \right)-\left( 2\left( i-1 \right)+\alpha j-1 \right)=2,\forall i=3,...,n;j=1,2,...,n$

Do bại liệt tiến hành lấy $-{{d}_{i-1}}+{{d}_{i}},i=3,...,n$ tớ được $\det \left( A \right) = \det \left( B \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\ {{b_{21}}}&{{b_{22}}}&{...}&{{b_{2n}}} \\ 2&2&{...}&2 \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ 2&2&2&2 \end{array}} \right| = 0.$

Ví dụ 16: Tính tấp tểnh thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&n&n&{...}&n\\ n&2&n&{...}&n\\ n&n&3&{...}&n\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ n&n&n&{...}&n \end{array}} \right|.$

Giải. Biến thay đổi tấp tểnh thức bám theo loại và người sử dụng công thức khai triển tớ có

\[\begin{array}{c} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&n&n&{...}&n\\ n&2&n&{...}&n\\ n&n&3&{...}&n\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ n&n&n&{...}&n \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&n&n&{...}&n\\ {n - 1}&{ - n + 2}&0&{...}&0\\ {n - 1}&0&{ - n + 3}&{...}&0\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {n - 1}&0&0&{...}&0 \end{array}} \right|\left( {{\bf{ - }}{{\bf{d}}_{\bf{1}}}{\bf{ + }}{{\bf{d}}_{\bf{i}}}{\bf{,i = 2,3,...,n}}} \right)\\ = n{( - 1)^{n + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {n - 1}&{ - n + 2}&0&{...}&0\\ {n - 1}&0&{ - n + 3}&{...}&0\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {n - 1}&0&0&{...}&{ - 1}\\ {n - 1}&0&0&{...}&0 \end{array}} \right|\left( {{\bf{khai\_trien\_cot\_n}}} \right)\\ = - n(n - 1)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - n + 2}&0&{...}&0\\ 0&{ - n + 3}&{...}&0\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ 0&0&0&{ - 1} \end{array}} \right|\left( {{\bf{khai\_trien\_dong\_n - 1}}} \right)\\ = - n(n - 1)( - 1)( - 2)...( - n + 2) = {( - 1)^{n - 1}}n! \end{array}\]

Các cách thức không giống được liệt kê tiếp sau đây độc giả nhấn nhập để coi chi tiết

Tính tấp tểnh thức quái trận dựa vào thi công sản phẩm số hoặc quy nạp

Ví dụ 1: Tính tấp tểnh thức ${d_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 5&3&0&{...}&0&0 \\ 2&5&3&{...}&0&0 \\ 0&2&5&{...}&0&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&{...}&5&3 \\ 0&0&0&{...}&2&5 \end{array}} \right|.$

Giải. Khai triển bám theo loại 1 với ${{d}_{n}}=5{{d}_{n-1}}-6{{d}_{n-2}},{{d}_{1}}=5,{{d}_{2}}=19\Rightarrow {{d}_{n}}={{3}^{n+1}}-{{2}^{n+1}}.$

Ví dụ 2: Dãy Fibonaci là sản phẩm chính thức với nhì thành phần 1 và 2. Kể kể từ số hạng loại phụ vương, số hạng đứng sau bởi vì tổng của nhì số hạng tức thì trước bại liệt. Kí hiệu ${{F}_{n}}$ là số hạng loại $n.$ Chứng minh rằng

\[\det \left( {{A_{n \times n}}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0&0&{...}&0&0 \\ { - 1}&1&1&0&{...}&0&0 \\ 0&{ - 1}&1&1&{...}&0&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&0&{...}&{ - 1}&1 \end{array}} \right| = {F_n}.\]

Giải. Ta với ${{F}_{1}}=1,{{F}_{2}}=2,{{F}_{n}}={{F}_{n-1}}+{{F}_{n-2}},n\ge 3.$

Và $\det \left( {{A_{1 \times 1}}} \right) = 1,\det \left( {{A_{2 \times 2}}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \\ { - 1}&1 \end{array}} \right| = 2$

Khai triển bám theo cột 1 tớ được: \[\det \left( {{A_{n \times n}}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0&{...}&0&0 \\ { - 1}&1&1&{...}&0&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&{...}&{ - 1}&1 \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&{...}&0&0 \\ { - 1}&1&1&{...}&0&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&{...}&{ - 1}&1 \end{array}} \right|\]

\[ = \det \left( {{A_{\left( {n - 1} \right) \times \left( {n - 1} \right)}}} \right) + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&{...}&0&0 \\ { - 1}&1&1&{...}&0&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&0&{...}&{ - 1}&1 \end{array}} \right|\]

Khai triển bám theo loại 1 tớ được:

\[\det \left( {{A_{n \times n}}} \right) = \det \left( {{A_{\left( {n - 1} \right) \times \left( {n - 1} \right)}}} \right) + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{...}&0&0 \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 0&0&{...}&{ - 1}&1 \end{array}} \right| = \det \left( {{A_{\left( {n - 1} \right) \times \left( {n - 1} \right)}}} \right) + \det \left( {{A_{\left( {n - 2} \right) \times \left( {n - 2} \right)}}} \right).\]

Điều bại liệt minh chứng \[\det \left( {{A}_{n\times n}} \right)={{F}_{n}}.\]

Đưa về tấp tểnh thức của quái trận tích

Ví dụ 1: Tính tấp tểnh thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2 + {x_1}{y_1}}&{2 + {x_1}{y_2}}&{2 + {x_1}{y_3}}&{2 + {x_1}{y_4}}&{2 + {x_1}{y_5}} \\ {2 + {x_2}{y_1}}&{2 + {x_2}{y_2}}&{2 + {x_2}{y_3}}&{2 + {x_2}{y_4}}&{2 + {x_2}{y_5}} \\ {2 + {x_3}{y_1}}&{2 + {x_3}{y_2}}&{2 + {x_3}{y_3}}&{2 + {x_3}{y_4}}&{2 + {x_3}{y_5}} \\ {2 + {x_4}{y_1}}&{2 + {x_4}{y_2}}&{2 + {x_4}{y_3}}&{2 + {x_4}{y_4}}&{2 + {x_4}{y_5}} \\ {2 + {x_5}{y_1}}&{2 + {x_5}{y_2}}&{2 + {x_5}{y_3}}&{2 + {x_5}{y_4}}&{2 + {x_5}{y_5}} \end{array}} \right|.$

Ta với phân tách quái trận đang được mang đến kết quả của nhì quái trận:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 + {x_1}{y_1}}&{2 + {x_1}{y_2}}&{2 + {x_1}{y_3}}&{2 + {x_1}{y_4}}&{2 + {x_1}{y_5}} \\ {2 + {x_2}{y_1}}&{2 + {x_2}{y_2}}&{2 + {x_2}{y_3}}&{2 + {x_2}{y_4}}&{2 + {x_2}{y_5}} \\ {2 + {x_3}{y_1}}&{2 + {x_3}{y_2}}&{2 + {x_3}{y_3}}&{2 + {x_3}{y_4}}&{2 + {x_3}{y_5}} \\ {2 + {x_4}{y_1}}&{2 + {x_4}{y_2}}&{2 + {x_4}{y_3}}&{2 + {x_4}{y_4}}&{2 + {x_4}{y_5}} \\ {2 + {x_5}{y_1}}&{2 + {x_5}{y_2}}&{2 + {x_5}{y_3}}&{2 + {x_5}{y_4}}&{2 + {x_5}{y_5}} \end{array}} \right)\]

\[ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{{x_1}}&0&0&0 \\ 2&{{x_2}}&0&0&0 \\ 2&{{x_3}}&0&0&0 \\ 2&{{x_4}}&0&0&0 \\ 2&{{x_5}}&0&0&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1&1 \\ {{y_1}}&{{y_2}}&{{y_3}}&{{y_4}}&{{y_5}} \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \end{array}} \right).\]

Lấy tấp tểnh thức nhì vế với tức thì $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2 + {x_1}{y_1}}&{2 + {x_1}{y_2}}&{2 + {x_1}{y_3}}&{2 + {x_1}{y_4}}&{2 + {x_1}{y_5}} \\ {2 + {x_2}{y_1}}&{2 + {x_2}{y_2}}&{2 + {x_2}{y_3}}&{2 + {x_2}{y_4}}&{2 + {x_2}{y_5}} \\ {2 + {x_3}{y_1}}&{2 + {x_3}{y_2}}&{2 + {x_3}{y_3}}&{2 + {x_3}{y_4}}&{2 + {x_3}{y_5}} \\ {2 + {x_4}{y_1}}&{2 + {x_4}{y_2}}&{2 + {x_4}{y_3}}&{2 + {x_4}{y_4}}&{2 + {x_4}{y_5}} \\ {2 + {x_5}{y_1}}&{2 + {x_5}{y_2}}&{2 + {x_5}{y_3}}&{2 + {x_5}{y_4}}&{2 + {x_5}{y_5}} \end{array}} \right| = 0.$

Ví dụ 2: Cho biết $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{x_1}}&{x_1^2}&{...}&{x_1^{n - 1}} \\ 1&{{x_2}}&{x_2^2}&{...}&{x_2^{n - 1}} \\ 1&{{x_3}}&{x_3^2}&{...}&{x_3^{n - 1}} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ 1&{{x_n}}&{x_n^2}&{...}&{x_n^{n - 1}} \end{array}} \right| = \prod\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant n} {\left( {{x_j} - {x_i}} \right)} $ (định thức Vandermonde)

Áp dụng tính tấp tểnh thức của quái trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {{a_1} + {b_1}} \right)}^3}}&{{{\left( {{a_1} + {b_2}} \right)}^3}}&{{{\left( {{a_1} + {b_3}} \right)}^3}}&{{{\left( {{a_1} + {b_4}} \right)}^3}} \\ {{{\left( {{a_2} + {b_1}} \right)}^3}}&{{{\left( {{a_2} + {b_2}} \right)}^3}}&{{{\left( {{a_2} + {b_3}} \right)}^3}}&{{{\left( {{a_2} + {b_4}} \right)}^3}} \\ {{{\left( {{a_3} + {b_1}} \right)}^3}}&{{{\left( {{a_3} + {b_2}} \right)}^3}}&{{{\left( {{a_3} + {b_3}} \right)}^3}}&{{{\left( {{a_3} + {b_4}} \right)}^3}} \\ {{{\left( {{a_4} + {b_1}} \right)}^3}}&{{{\left( {{a_4} + {b_2}} \right)}^3}}&{{{\left( {{a_4} + {b_3}} \right)}^3}}&{{{\left( {{a_4} + {b_4}} \right)}^3}} \end{array}} \right)$ nhập bại liệt ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}$ và ${{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}},{{b}_{4}}$ theo lần lượt là tứ số chẵn thường xuyên, tứ số lẻ thường xuyên.

Giải. Từ ${{\left( x+y \right)}^{3}}={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}y+3x{{y}^{2}}+{{y}^{3}}=1.{{y}^{3}}+3x.{{y}^{2}}+3{{x}^{2}}.y+{{x}^{3}}.1$

Suy rời khỏi $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{3{a_1}}&{3a_1^2}&{a_1^3} \\ 1&{3{a_2}}&{3a_2^2}&{a_2^3} \\ 1&{3{a_3}}&{3a_3^2}&{3a_3^3} \\ 1&{3{a_4}}&{3a_4^2}&{3a_4^3} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {b_1^3}&{b_2^3}&{b_3^3}&{b_4^3} \\ {b_1^2}&{b_2^2}&{b_3^2}&{b_4^2} \\ {{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}&{{b_4}} \\ 1&1&1&1 \end{array}} \right)$

\[ \Rightarrow \det \left( A \right) = 9\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{a_1}}&{a_1^2}&{a_1^3} \\ 1&{{a_2}}&{a_2^2}&{a_2^3} \\ 1&{{a_3}}&{a_3^2}&{a_3^3} \\ 1&{{a_4}}&{a_4^2}&{a_4^3} \end{array}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1 \\ {{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}&{{b_4}} \\ {b_1^2}&{b_2^2}&{b_3^2}&{b_4^2} \\ {b_1^3}&{b_2^3}&{b_3^3}&{b_4^3} \end{array}} \right|\left( \begin{gathered} {\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \hfill \\ {\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \hfill \\ \end{gathered} \right)\]

\[ = 9\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{a_1}}&{a_1^2}&{a_1^3} \\ 1&{{a_2}}&{a_2^2}&{a_2^3} \\ 1&{{a_3}}&{a_3^2}&{a_3^3} \\ 1&{{a_4}}&{a_4^2}&{a_4^3} \end{array}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{b_1}}&{b_1^2}&{b_1^3} \\ 1&{{b_2}}&{b_2^2}&{b_2^3} \\ 1&{{b_3}}&{b_3^2}&{b_3^3} \\ 1&{{b_4}}&{b_4^2}&{b_4^3} \end{array}} \right|\left( {{\mathbf{chuyen\_vi}}} \right)\]

\[=9\prod\limits_{1\le i<j\le 4}{\left( {{a}_{j}}-{{a}_{i}} \right)}\prod\limits_{1\le i<j\le 4}{\left( {{b}_{j}}-{{b}_{i}} \right)}=9.\left( {{2}^{3}}{{.4}^{2}}.6 \right)\left( {{2}^{3}}{{.4}^{2}}.6 \right)=5308416.\]

Tính tấp tểnh thức quái trận dựa vào quái trận trả vị

Hiện bên trên Vted.vn thi công 2 khoá học tập Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, ĐH khối ngành Kinh tế của toàn bộ những trường:

Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH

Khoá học tập hỗ trợ vừa đủ kỹ năng và cách thức giải bài xích tập dượt những dạng toán đi kèm theo từng bài học kinh nghiệm. Hệ thống bài xích tập dượt tập luyện dạng Tự luận với lời nói giải cụ thể bên trên trang web sẽ hỗ trợ học tập viên học tập nhanh chóng và áp dụng chắc hẳn rằng kỹ năng. Mục chi tiêu của khoá học tập gom học tập viên đạt điểm A đua cuối kì những học tập phần Toán thời thượng 1 và Toán thời thượng 2 trong những ngôi trường tài chính.

Sinh viên những ngôi trường ĐH tại đây hoàn toàn có thể học tập được bộ combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

Xem thêm: Xe 7 chỗ chở tối đa được bao nhiêu người

và những ngôi trường ĐH, ngành tài chính của những ngôi trường ĐH không giống bên trên từng toàn nước...

Các phương pháp tính định thức của ma trận | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted